3.592 \(\int \frac{\tan ^{\frac{7}{2}}(c+d x)}{(a+b \tan (c+d x))^2} \, dx\)

Optimal. Leaf size=358 \[ -\frac{a^{5/2} \left (3 a^2+7 b^2\right ) \tan ^{-1}\left (\frac{\sqrt{b} \sqrt{\tan (c+d x)}}{\sqrt{a}}\right )}{b^{5/2} d \left (a^2+b^2\right )^2}-\frac{a^2 \tan ^{\frac{3}{2}}(c+d x)}{b d \left (a^2+b^2\right ) (a+b \tan (c+d x))}-\frac{\left (a^2-2 a b-b^2\right ) \tan ^{-1}\left (1-\sqrt{2} \sqrt{\tan (c+d x)}\right )}{\sqrt{2} d \left (a^2+b^2\right )^2}+\frac{\left (a^2-2 a b-b^2\right ) \tan ^{-1}\left (\sqrt{2} \sqrt{\tan (c+d x)}+1\right )}{\sqrt{2} d \left (a^2+b^2\right )^2}+\frac{\left (3 a^2+2 b^2\right ) \sqrt{\tan (c+d x)}}{b^2 d \left (a^2+b^2\right )}-\frac{\left (a^2+2 a b-b^2\right ) \log \left (\tan (c+d x)-\sqrt{2} \sqrt{\tan (c+d x)}+1\right )}{2 \sqrt{2} d \left (a^2+b^2\right )^2}+\frac{\left (a^2+2 a b-b^2\right ) \log \left (\tan (c+d x)+\sqrt{2} \sqrt{\tan (c+d x)}+1\right )}{2 \sqrt{2} d \left (a^2+b^2\right )^2} \]

[Out]

-(((a^2 - 2*a*b - b^2)*ArcTan[1 - Sqrt[2]*Sqrt[Tan[c + d*x]]])/(Sqrt[2]*(a^2 + b^2)^2*d)) + ((a^2 - 2*a*b - b^
2)*ArcTan[1 + Sqrt[2]*Sqrt[Tan[c + d*x]]])/(Sqrt[2]*(a^2 + b^2)^2*d) - (a^(5/2)*(3*a^2 + 7*b^2)*ArcTan[(Sqrt[b
]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/Sqrt[a]])/(b^(5/2)*(a^2 + b^2)^2*d) - ((a^2 + 2*a*b - b^2)*Log[1 - Sqrt[2]*Sqrt[Tan[c +
d*x]] + Tan[c + d*x]])/(2*Sqrt[2]*(a^2 + b^2)^2*d) + ((a^2 + 2*a*b - b^2)*Log[1 + Sqrt[2]*Sqrt[Tan[c + d*x]] +
Tan[c + d*x]])/(2*Sqrt[2]*(a^2 + b^2)^2*d) + ((3*a^2 + 2*b^2)*Sqrt[Tan[c + d*x]])/(b^2*(a^2 + b^2)*d) - (a^2*
Tan[c + d*x]^(3/2))/(b*(a^2 + b^2)*d*(a + b*Tan[c + d*x]))

________________________________________________________________________________________

Rubi [A]  time = 0.747838, antiderivative size = 358, normalized size of antiderivative = 1., number of steps used = 16, number of rules used = 13, integrand size = 23, \(\frac{\text{number of rules}}{\text{integrand size}}\) = 0.565, Rules used = {3565, 3647, 3653, 3534, 1168, 1162, 617, 204, 1165, 628, 3634, 63, 205} \[ -\frac{a^{5/2} \left (3 a^2+7 b^2\right ) \tan ^{-1}\left (\frac{\sqrt{b} \sqrt{\tan (c+d x)}}{\sqrt{a}}\right )}{b^{5/2} d \left (a^2+b^2\right )^2}-\frac{a^2 \tan ^{\frac{3}{2}}(c+d x)}{b d \left (a^2+b^2\right ) (a+b \tan (c+d x))}-\frac{\left (a^2-2 a b-b^2\right ) \tan ^{-1}\left (1-\sqrt{2} \sqrt{\tan (c+d x)}\right )}{\sqrt{2} d \left (a^2+b^2\right )^2}+\frac{\left (a^2-2 a b-b^2\right ) \tan ^{-1}\left (\sqrt{2} \sqrt{\tan (c+d x)}+1\right )}{\sqrt{2} d \left (a^2+b^2\right )^2}+\frac{\left (3 a^2+2 b^2\right ) \sqrt{\tan (c+d x)}}{b^2 d \left (a^2+b^2\right )}-\frac{\left (a^2+2 a b-b^2\right ) \log \left (\tan (c+d x)-\sqrt{2} \sqrt{\tan (c+d x)}+1\right )}{2 \sqrt{2} d \left (a^2+b^2\right )^2}+\frac{\left (a^2+2 a b-b^2\right ) \log \left (\tan (c+d x)+\sqrt{2} \sqrt{\tan (c+d x)}+1\right )}{2 \sqrt{2} d \left (a^2+b^2\right )^2} \]

Antiderivative was successfully verified.

[In]

Int[Tan[c + d*x]^(7/2)/(a + b*Tan[c + d*x])^2,x]

[Out]

-(((a^2 - 2*a*b - b^2)*ArcTan[1 - Sqrt[2]*Sqrt[Tan[c + d*x]]])/(Sqrt[2]*(a^2 + b^2)^2*d)) + ((a^2 - 2*a*b - b^
2)*ArcTan[1 + Sqrt[2]*Sqrt[Tan[c + d*x]]])/(Sqrt[2]*(a^2 + b^2)^2*d) - (a^(5/2)*(3*a^2 + 7*b^2)*ArcTan[(Sqrt[b
]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/Sqrt[a]])/(b^(5/2)*(a^2 + b^2)^2*d) - ((a^2 + 2*a*b - b^2)*Log[1 - Sqrt[2]*Sqrt[Tan[c +
d*x]] + Tan[c + d*x]])/(2*Sqrt[2]*(a^2 + b^2)^2*d) + ((a^2 + 2*a*b - b^2)*Log[1 + Sqrt[2]*Sqrt[Tan[c + d*x]] +
Tan[c + d*x]])/(2*Sqrt[2]*(a^2 + b^2)^2*d) + ((3*a^2 + 2*b^2)*Sqrt[Tan[c + d*x]])/(b^2*(a^2 + b^2)*d) - (a^2*
Tan[c + d*x]^(3/2))/(b*(a^2 + b^2)*d*(a + b*Tan[c + d*x]))

Rule 3565

Int[((a_.) + (b_.)*tan[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(m_)*((c_.) + (d_.)*tan[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(n_), x_Symbol] :> Si
mp[((b*c - a*d)^2*(a + b*Tan[e + f*x])^(m - 2)*(c + d*Tan[e + f*x])^(n + 1))/(d*f*(n + 1)*(c^2 + d^2)), x] - D
ist[1/(d*(n + 1)*(c^2 + d^2)), Int[(a + b*Tan[e + f*x])^(m - 3)*(c + d*Tan[e + f*x])^(n + 1)*Simp[a^2*d*(b*d*(
m - 2) - a*c*(n + 1)) + b*(b*c - 2*a*d)*(b*c*(m - 2) + a*d*(n + 1)) - d*(n + 1)*(3*a^2*b*c - b^3*c - a^3*d + 3
*a*b^2*d)*Tan[e + f*x] - b*(a*d*(2*b*c - a*d)*(m + n - 1) - b^2*(c^2*(m - 2) - d^2*(n + 1)))*Tan[e + f*x]^2, x
], x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f}, x] && NeQ[b*c - a*d, 0] && NeQ[a^2 + b^2, 0] && NeQ[c^2 + d^2, 0] && Gt
Q[m, 2] && LtQ[n, -1] && IntegerQ[2*m]

Rule 3647

Int[((a_.) + (b_.)*tan[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(m_.)*((c_.) + (d_.)*tan[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(n_)*((A_.) + (B_.)*
tan[(e_.) + (f_.)*(x_)] + (C_.)*tan[(e_.) + (f_.)*(x_)]^2), x_Symbol] :> Simp[(C*(a + b*Tan[e + f*x])^m*(c + d
*Tan[e + f*x])^(n + 1))/(d*f*(m + n + 1)), x] + Dist[1/(d*(m + n + 1)), Int[(a + b*Tan[e + f*x])^(m - 1)*(c +
d*Tan[e + f*x])^n*Simp[a*A*d*(m + n + 1) - C*(b*c*m + a*d*(n + 1)) + d*(A*b + a*B - b*C)*(m + n + 1)*Tan[e + f
*x] - (C*m*(b*c - a*d) - b*B*d*(m + n + 1))*Tan[e + f*x]^2, x], x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, A, B, C, n}
, x] && NeQ[b*c - a*d, 0] && NeQ[a^2 + b^2, 0] && NeQ[c^2 + d^2, 0] && GtQ[m, 0] &&  !(IGtQ[n, 0] && ( !Intege
rQ[m] || (EqQ[c, 0] && NeQ[a, 0])))

Rule 3653

Int[(((c_.) + (d_.)*tan[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(n_)*((A_.) + (B_.)*tan[(e_.) + (f_.)*(x_)] + (C_.)*tan[(e_.) + (
f_.)*(x_)]^2))/((a_.) + (b_.)*tan[(e_.) + (f_.)*(x_)]), x_Symbol] :> Dist[1/(a^2 + b^2), Int[(c + d*Tan[e + f*
x])^n*Simp[b*B + a*(A - C) + (a*B - b*(A - C))*Tan[e + f*x], x], x], x] + Dist[(A*b^2 - a*b*B + a^2*C)/(a^2 +
b^2), Int[((c + d*Tan[e + f*x])^n*(1 + Tan[e + f*x]^2))/(a + b*Tan[e + f*x]), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e,
f, A, B, C, n}, x] && NeQ[b*c - a*d, 0] && NeQ[a^2 + b^2, 0] && NeQ[c^2 + d^2, 0] &&  !GtQ[n, 0] &&  !LeQ[n, -
1]

Rule 3534

Int[((c_) + (d_.)*tan[(e_.) + (f_.)*(x_)])/Sqrt[(b_.)*tan[(e_.) + (f_.)*(x_)]], x_Symbol] :> Dist[2/f, Subst[I
nt[(b*c + d*x^2)/(b^2 + x^4), x], x, Sqrt[b*Tan[e + f*x]]], x] /; FreeQ[{b, c, d, e, f}, x] && NeQ[c^2 - d^2,
0] && NeQ[c^2 + d^2, 0]

Rule 1168

Int[((d_) + (e_.)*(x_)^2)/((a_) + (c_.)*(x_)^4), x_Symbol] :> With[{q = Rt[a*c, 2]}, Dist[(d*q + a*e)/(2*a*c),
Int[(q + c*x^2)/(a + c*x^4), x], x] + Dist[(d*q - a*e)/(2*a*c), Int[(q - c*x^2)/(a + c*x^4), x], x]] /; FreeQ
[{a, c, d, e}, x] && NeQ[c*d^2 + a*e^2, 0] && NeQ[c*d^2 - a*e^2, 0] && NegQ[-(a*c)]

Rule 1162

Int[((d_) + (e_.)*(x_)^2)/((a_) + (c_.)*(x_)^4), x_Symbol] :> With[{q = Rt[(2*d)/e, 2]}, Dist[e/(2*c), Int[1/S
imp[d/e + q*x + x^2, x], x], x] + Dist[e/(2*c), Int[1/Simp[d/e - q*x + x^2, x], x], x]] /; FreeQ[{a, c, d, e},
x] && EqQ[c*d^2 - a*e^2, 0] && PosQ[d*e]

Rule 617

Int[((a_) + (b_.)*(x_) + (c_.)*(x_)^2)^(-1), x_Symbol] :> With[{q = 1 - 4*Simplify[(a*c)/b^2]}, Dist[-2/b, Sub
st[Int[1/(q - x^2), x], x, 1 + (2*c*x)/b], x] /; RationalQ[q] && (EqQ[q^2, 1] ||  !RationalQ[b^2 - 4*a*c])] /;
FreeQ[{a, b, c}, x] && NeQ[b^2 - 4*a*c, 0]

Rule 204

Int[((a_) + (b_.)*(x_)^2)^(-1), x_Symbol] :> -Simp[ArcTan[(Rt[-b, 2]*x)/Rt[-a, 2]]/(Rt[-a, 2]*Rt[-b, 2]), x] /
; FreeQ[{a, b}, x] && PosQ[a/b] && (LtQ[a, 0] || LtQ[b, 0])

Rule 1165

Int[((d_) + (e_.)*(x_)^2)/((a_) + (c_.)*(x_)^4), x_Symbol] :> With[{q = Rt[(-2*d)/e, 2]}, Dist[e/(2*c*q), Int[
(q - 2*x)/Simp[d/e + q*x - x^2, x], x], x] + Dist[e/(2*c*q), Int[(q + 2*x)/Simp[d/e - q*x - x^2, x], x], x]] /
; FreeQ[{a, c, d, e}, x] && EqQ[c*d^2 - a*e^2, 0] && NegQ[d*e]

Rule 628

Int[((d_) + (e_.)*(x_))/((a_.) + (b_.)*(x_) + (c_.)*(x_)^2), x_Symbol] :> Simp[(d*Log[RemoveContent[a + b*x +
c*x^2, x]])/b, x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e}, x] && EqQ[2*c*d - b*e, 0]

Rule 3634

Int[((a_.) + (b_.)*tan[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(m_.)*((c_.) + (d_.)*tan[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(n_.)*((A_) + (C_.)*
tan[(e_.) + (f_.)*(x_)]^2), x_Symbol] :> Dist[A/f, Subst[Int[(a + b*x)^m*(c + d*x)^n, x], x, Tan[e + f*x]], x]
/; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, A, C, m, n}, x] && EqQ[A, C]

Rule 63

Int[((a_.) + (b_.)*(x_))^(m_)*((c_.) + (d_.)*(x_))^(n_), x_Symbol] :> With[{p = Denominator[m]}, Dist[p/b, Sub
st[Int[x^(p*(m + 1) - 1)*(c - (a*d)/b + (d*x^p)/b)^n, x], x, (a + b*x)^(1/p)], x]] /; FreeQ[{a, b, c, d}, x] &
& NeQ[b*c - a*d, 0] && LtQ[-1, m, 0] && LeQ[-1, n, 0] && LeQ[Denominator[n], Denominator[m]] && IntLinearQ[a,
b, c, d, m, n, x]

Rule 205

Int[((a_) + (b_.)*(x_)^2)^(-1), x_Symbol] :> Simp[(Rt[a/b, 2]*ArcTan[x/Rt[a/b, 2]])/a, x] /; FreeQ[{a, b}, x]
&& PosQ[a/b]

Rubi steps

\begin{align*} \int \frac{\tan ^{\frac{7}{2}}(c+d x)}{(a+b \tan (c+d x))^2} \, dx &=-\frac{a^2 \tan ^{\frac{3}{2}}(c+d x)}{b \left (a^2+b^2\right ) d (a+b \tan (c+d x))}+\frac{\int \frac{\sqrt{\tan (c+d x)} \left (\frac{3 a^2}{2}-a b \tan (c+d x)+\frac{1}{2} \left (3 a^2+2 b^2\right ) \tan ^2(c+d x)\right )}{a+b \tan (c+d x)} \, dx}{b \left (a^2+b^2\right )}\\ &=\frac{\left (3 a^2+2 b^2\right ) \sqrt{\tan (c+d x)}}{b^2 \left (a^2+b^2\right ) d}-\frac{a^2 \tan ^{\frac{3}{2}}(c+d x)}{b \left (a^2+b^2\right ) d (a+b \tan (c+d x))}+\frac{2 \int \frac{-\frac{1}{4} a \left (3 a^2+2 b^2\right )-\frac{1}{2} b^3 \tan (c+d x)-\frac{1}{4} a \left (3 a^2+4 b^2\right ) \tan ^2(c+d x)}{\sqrt{\tan (c+d x)} (a+b \tan (c+d x))} \, dx}{b^2 \left (a^2+b^2\right )}\\ &=\frac{\left (3 a^2+2 b^2\right ) \sqrt{\tan (c+d x)}}{b^2 \left (a^2+b^2\right ) d}-\frac{a^2 \tan ^{\frac{3}{2}}(c+d x)}{b \left (a^2+b^2\right ) d (a+b \tan (c+d x))}+\frac{2 \int \frac{\frac{1}{2} b^2 \left (a^2-b^2\right )-a b^3 \tan (c+d x)}{\sqrt{\tan (c+d x)}} \, dx}{b^2 \left (a^2+b^2\right )^2}-\frac{\left (a^3 \left (3 a^2+7 b^2\right )\right ) \int \frac{1+\tan ^2(c+d x)}{\sqrt{\tan (c+d x)} (a+b \tan (c+d x))} \, dx}{2 b^2 \left (a^2+b^2\right )^2}\\ &=\frac{\left (3 a^2+2 b^2\right ) \sqrt{\tan (c+d x)}}{b^2 \left (a^2+b^2\right ) d}-\frac{a^2 \tan ^{\frac{3}{2}}(c+d x)}{b \left (a^2+b^2\right ) d (a+b \tan (c+d x))}+\frac{4 \operatorname{Subst}\left (\int \frac{\frac{1}{2} b^2 \left (a^2-b^2\right )-a b^3 x^2}{1+x^4} \, dx,x,\sqrt{\tan (c+d x)}\right )}{b^2 \left (a^2+b^2\right )^2 d}-\frac{\left (a^3 \left (3 a^2+7 b^2\right )\right ) \operatorname{Subst}\left (\int \frac{1}{\sqrt{x} (a+b x)} \, dx,x,\tan (c+d x)\right )}{2 b^2 \left (a^2+b^2\right )^2 d}\\ &=\frac{\left (3 a^2+2 b^2\right ) \sqrt{\tan (c+d x)}}{b^2 \left (a^2+b^2\right ) d}-\frac{a^2 \tan ^{\frac{3}{2}}(c+d x)}{b \left (a^2+b^2\right ) d (a+b \tan (c+d x))}+\frac{\left (a^2-2 a b-b^2\right ) \operatorname{Subst}\left (\int \frac{1+x^2}{1+x^4} \, dx,x,\sqrt{\tan (c+d x)}\right )}{\left (a^2+b^2\right )^2 d}+\frac{\left (a^2+2 a b-b^2\right ) \operatorname{Subst}\left (\int \frac{1-x^2}{1+x^4} \, dx,x,\sqrt{\tan (c+d x)}\right )}{\left (a^2+b^2\right )^2 d}-\frac{\left (a^3 \left (3 a^2+7 b^2\right )\right ) \operatorname{Subst}\left (\int \frac{1}{a+b x^2} \, dx,x,\sqrt{\tan (c+d x)}\right )}{b^2 \left (a^2+b^2\right )^2 d}\\ &=-\frac{a^{5/2} \left (3 a^2+7 b^2\right ) \tan ^{-1}\left (\frac{\sqrt{b} \sqrt{\tan (c+d x)}}{\sqrt{a}}\right )}{b^{5/2} \left (a^2+b^2\right )^2 d}+\frac{\left (3 a^2+2 b^2\right ) \sqrt{\tan (c+d x)}}{b^2 \left (a^2+b^2\right ) d}-\frac{a^2 \tan ^{\frac{3}{2}}(c+d x)}{b \left (a^2+b^2\right ) d (a+b \tan (c+d x))}+\frac{\left (a^2-2 a b-b^2\right ) \operatorname{Subst}\left (\int \frac{1}{1-\sqrt{2} x+x^2} \, dx,x,\sqrt{\tan (c+d x)}\right )}{2 \left (a^2+b^2\right )^2 d}+\frac{\left (a^2-2 a b-b^2\right ) \operatorname{Subst}\left (\int \frac{1}{1+\sqrt{2} x+x^2} \, dx,x,\sqrt{\tan (c+d x)}\right )}{2 \left (a^2+b^2\right )^2 d}-\frac{\left (a^2+2 a b-b^2\right ) \operatorname{Subst}\left (\int \frac{\sqrt{2}+2 x}{-1-\sqrt{2} x-x^2} \, dx,x,\sqrt{\tan (c+d x)}\right )}{2 \sqrt{2} \left (a^2+b^2\right )^2 d}-\frac{\left (a^2+2 a b-b^2\right ) \operatorname{Subst}\left (\int \frac{\sqrt{2}-2 x}{-1+\sqrt{2} x-x^2} \, dx,x,\sqrt{\tan (c+d x)}\right )}{2 \sqrt{2} \left (a^2+b^2\right )^2 d}\\ &=-\frac{a^{5/2} \left (3 a^2+7 b^2\right ) \tan ^{-1}\left (\frac{\sqrt{b} \sqrt{\tan (c+d x)}}{\sqrt{a}}\right )}{b^{5/2} \left (a^2+b^2\right )^2 d}-\frac{\left (a^2+2 a b-b^2\right ) \log \left (1-\sqrt{2} \sqrt{\tan (c+d x)}+\tan (c+d x)\right )}{2 \sqrt{2} \left (a^2+b^2\right )^2 d}+\frac{\left (a^2+2 a b-b^2\right ) \log \left (1+\sqrt{2} \sqrt{\tan (c+d x)}+\tan (c+d x)\right )}{2 \sqrt{2} \left (a^2+b^2\right )^2 d}+\frac{\left (3 a^2+2 b^2\right ) \sqrt{\tan (c+d x)}}{b^2 \left (a^2+b^2\right ) d}-\frac{a^2 \tan ^{\frac{3}{2}}(c+d x)}{b \left (a^2+b^2\right ) d (a+b \tan (c+d x))}+\frac{\left (a^2-2 a b-b^2\right ) \operatorname{Subst}\left (\int \frac{1}{-1-x^2} \, dx,x,1-\sqrt{2} \sqrt{\tan (c+d x)}\right )}{\sqrt{2} \left (a^2+b^2\right )^2 d}-\frac{\left (a^2-2 a b-b^2\right ) \operatorname{Subst}\left (\int \frac{1}{-1-x^2} \, dx,x,1+\sqrt{2} \sqrt{\tan (c+d x)}\right )}{\sqrt{2} \left (a^2+b^2\right )^2 d}\\ &=-\frac{\left (a^2-2 a b-b^2\right ) \tan ^{-1}\left (1-\sqrt{2} \sqrt{\tan (c+d x)}\right )}{\sqrt{2} \left (a^2+b^2\right )^2 d}+\frac{\left (a^2-2 a b-b^2\right ) \tan ^{-1}\left (1+\sqrt{2} \sqrt{\tan (c+d x)}\right )}{\sqrt{2} \left (a^2+b^2\right )^2 d}-\frac{a^{5/2} \left (3 a^2+7 b^2\right ) \tan ^{-1}\left (\frac{\sqrt{b} \sqrt{\tan (c+d x)}}{\sqrt{a}}\right )}{b^{5/2} \left (a^2+b^2\right )^2 d}-\frac{\left (a^2+2 a b-b^2\right ) \log \left (1-\sqrt{2} \sqrt{\tan (c+d x)}+\tan (c+d x)\right )}{2 \sqrt{2} \left (a^2+b^2\right )^2 d}+\frac{\left (a^2+2 a b-b^2\right ) \log \left (1+\sqrt{2} \sqrt{\tan (c+d x)}+\tan (c+d x)\right )}{2 \sqrt{2} \left (a^2+b^2\right )^2 d}+\frac{\left (3 a^2+2 b^2\right ) \sqrt{\tan (c+d x)}}{b^2 \left (a^2+b^2\right ) d}-\frac{a^2 \tan ^{\frac{3}{2}}(c+d x)}{b \left (a^2+b^2\right ) d (a+b \tan (c+d x))}\\ \end{align*}

Mathematica [C]  time = 1.12662, size = 375, normalized size = 1.05 \[ \frac{2 a^4 b^{3/2} \tan ^{\frac{3}{2}}(c+d x)-7 a^{7/2} b^2 \tan ^{-1}\left (\frac{\sqrt{b} \sqrt{\tan (c+d x)}}{\sqrt{a}}\right )-7 a^{5/2} b^3 \tan (c+d x) \tan ^{-1}\left (\frac{\sqrt{b} \sqrt{\tan (c+d x)}}{\sqrt{a}}\right )+4 a^2 b^{7/2} \tan ^{\frac{3}{2}}(c+d x)+5 a^3 b^{5/2} \sqrt{\tan (c+d x)}-3 a^{11/2} \tan ^{-1}\left (\frac{\sqrt{b} \sqrt{\tan (c+d x)}}{\sqrt{a}}\right )-3 a^{9/2} b \tan (c+d x) \tan ^{-1}\left (\frac{\sqrt{b} \sqrt{\tan (c+d x)}}{\sqrt{a}}\right )+3 a^5 \sqrt{b} \sqrt{\tan (c+d x)}+\sqrt [4]{-1} b^{5/2} (b-i a)^2 \tan ^{-1}\left ((-1)^{3/4} \sqrt{\tan (c+d x)}\right ) (a+b \tan (c+d x))+2 a b^{9/2} \sqrt{\tan (c+d x)}+\sqrt [4]{-1} b^{5/2} (b+i a)^2 \tanh ^{-1}\left ((-1)^{3/4} \sqrt{\tan (c+d x)}\right ) (a+b \tan (c+d x))+2 b^{11/2} \tan ^{\frac{3}{2}}(c+d x)}{b^{5/2} d \left (a^2+b^2\right )^2 (a+b \tan (c+d x))} \]

Antiderivative was successfully verified.

[In]

Integrate[Tan[c + d*x]^(7/2)/(a + b*Tan[c + d*x])^2,x]

[Out]

(-3*a^(11/2)*ArcTan[(Sqrt[b]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/Sqrt[a]] - 7*a^(7/2)*b^2*ArcTan[(Sqrt[b]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/
Sqrt[a]] + 3*a^5*Sqrt[b]*Sqrt[Tan[c + d*x]] + 5*a^3*b^(5/2)*Sqrt[Tan[c + d*x]] + 2*a*b^(9/2)*Sqrt[Tan[c + d*x]
] - 3*a^(9/2)*b*ArcTan[(Sqrt[b]*Sqrt[Tan[c + d*x]])/Sqrt[a]]*Tan[c + d*x] - 7*a^(5/2)*b^3*ArcTan[(Sqrt[b]*Sqrt
[Tan[c + d*x]])/Sqrt[a]]*Tan[c + d*x] + 2*a^4*b^(3/2)*Tan[c + d*x]^(3/2) + 4*a^2*b^(7/2)*Tan[c + d*x]^(3/2) +
2*b^(11/2)*Tan[c + d*x]^(3/2) + (-1)^(1/4)*b^(5/2)*((-I)*a + b)^2*ArcTan[(-1)^(3/4)*Sqrt[Tan[c + d*x]]]*(a + b
*Tan[c + d*x]) + (-1)^(1/4)*b^(5/2)*(I*a + b)^2*ArcTanh[(-1)^(3/4)*Sqrt[Tan[c + d*x]]]*(a + b*Tan[c + d*x]))/(
b^(5/2)*(a^2 + b^2)^2*d*(a + b*Tan[c + d*x]))

________________________________________________________________________________________

Maple [A]  time = 0.037, size = 574, normalized size = 1.6 \begin{align*} \text{result too large to display} \end{align*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

int(tan(d*x+c)^(7/2)/(a+b*tan(d*x+c))^2,x)

[Out]

2/d/b^2*tan(d*x+c)^(1/2)+1/d*a^5/(a^2+b^2)^2/b^2*tan(d*x+c)^(1/2)/(a+b*tan(d*x+c))+1/d*a^3/(a^2+b^2)^2*tan(d*x
+c)^(1/2)/(a+b*tan(d*x+c))-3/d*a^5/(a^2+b^2)^2/b^2/(a*b)^(1/2)*arctan(tan(d*x+c)^(1/2)*b/(a*b)^(1/2))-7/d*a^3/
(a^2+b^2)^2/(a*b)^(1/2)*arctan(tan(d*x+c)^(1/2)*b/(a*b)^(1/2))+1/2/d/(a^2+b^2)^2*arctan(1+2^(1/2)*tan(d*x+c)^(
1/2))*2^(1/2)*a^2-1/2/d/(a^2+b^2)^2*arctan(1+2^(1/2)*tan(d*x+c)^(1/2))*2^(1/2)*b^2+1/2/d/(a^2+b^2)^2*arctan(-1
+2^(1/2)*tan(d*x+c)^(1/2))*2^(1/2)*a^2-1/2/d/(a^2+b^2)^2*arctan(-1+2^(1/2)*tan(d*x+c)^(1/2))*2^(1/2)*b^2+1/4/d
/(a^2+b^2)^2*2^(1/2)*ln((1+2^(1/2)*tan(d*x+c)^(1/2)+tan(d*x+c))/(1-2^(1/2)*tan(d*x+c)^(1/2)+tan(d*x+c)))*a^2-1
/4/d/(a^2+b^2)^2*2^(1/2)*ln((1+2^(1/2)*tan(d*x+c)^(1/2)+tan(d*x+c))/(1-2^(1/2)*tan(d*x+c)^(1/2)+tan(d*x+c)))*b
^2-1/2/d/(a^2+b^2)^2*a*b*2^(1/2)*ln((1-2^(1/2)*tan(d*x+c)^(1/2)+tan(d*x+c))/(1+2^(1/2)*tan(d*x+c)^(1/2)+tan(d*
x+c)))-1/d/(a^2+b^2)^2*a*b*2^(1/2)*arctan(1+2^(1/2)*tan(d*x+c)^(1/2))-1/d/(a^2+b^2)^2*a*b*2^(1/2)*arctan(-1+2^
(1/2)*tan(d*x+c)^(1/2))

________________________________________________________________________________________

Maxima [F(-2)]  time = 0., size = 0, normalized size = 0. \begin{align*} \text{Exception raised: ValueError} \end{align*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate(tan(d*x+c)^(7/2)/(a+b*tan(d*x+c))^2,x, algorithm="maxima")

[Out]

Exception raised: ValueError

________________________________________________________________________________________

Fricas [B]  time = 107.583, size = 31599, normalized size = 88.27 \begin{align*} \text{result too large to display} \end{align*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate(tan(d*x+c)^(7/2)/(a+b*tan(d*x+c))^2,x, algorithm="fricas")

[Out]

[1/4*(4*sqrt(2)*((a^14*b^2 + 5*a^12*b^4 + 9*a^10*b^6 + 5*a^8*b^8 - 5*a^6*b^10 - 9*a^4*b^12 - 5*a^2*b^14 - b^16
)*d^5*cos(d*x + c)^2 + 2*(a^13*b^3 + 6*a^11*b^5 + 15*a^9*b^7 + 20*a^7*b^9 + 15*a^5*b^11 + 6*a^3*b^13 + a*b^15)
*d^5*cos(d*x + c)*sin(d*x + c) + (a^12*b^4 + 6*a^10*b^6 + 15*a^8*b^8 + 20*a^6*b^10 + 15*a^4*b^12 + 6*a^2*b^14
+ b^16)*d^5)*sqrt((a^8 + 4*a^6*b^2 + 6*a^4*b^4 + 4*a^2*b^6 + b^8 - 4*(a^11*b + 3*a^9*b^3 + 2*a^7*b^5 - 2*a^5*b
^7 - 3*a^3*b^9 - a*b^11)*d^2*sqrt(1/((a^8 + 4*a^6*b^2 + 6*a^4*b^4 + 4*a^2*b^6 + b^8)*d^4)))/(a^8 - 12*a^6*b^2
+ 38*a^4*b^4 - 12*a^2*b^6 + b^8))*sqrt((a^8 - 12*a^6*b^2 + 38*a^4*b^4 - 12*a^2*b^6 + b^8)/((a^16 + 8*a^14*b^2
+ 28*a^12*b^4 + 56*a^10*b^6 + 70*a^8*b^8 + 56*a^6*b^10 + 28*a^4*b^12 + 8*a^2*b^14 + b^16)*d^4))*(1/((a^8 + 4*a
^6*b^2 + 6*a^4*b^4 + 4*a^2*b^6 + b^8)*d^4))^(3/4)*arctan(((a^16 - 20*a^12*b^4 - 64*a^10*b^6 - 90*a^8*b^8 - 64*
a^6*b^10 - 20*a^4*b^12 + b^16)*d^4*sqrt((a^8 - 12*a^6*b^2 + 38*a^4*b^4 - 12*a^2*b^6 + b^8)/((a^16 + 8*a^14*b^2
+ 28*a^12*b^4 + 56*a^10*b^6 + 70*a^8*b^8 + 56*a^6*b^10 + 28*a^4*b^12 + 8*a^2*b^14 + b^16)*d^4))*sqrt(1/((a^8
+ 4*a^6*b^2 + 6*a^4*b^4 + 4*a^2*b^6 + b^8)*d^4)) - sqrt(2)*((a^18 + 7*a^16*b^2 + 20*a^14*b^4 + 28*a^12*b^6 + 1
4*a^10*b^8 - 14*a^8*b^10 - 28*a^6*b^12 - 20*a^4*b^14 - 7*a^2*b^16 - b^18)*d^7*sqrt((a^8 - 12*a^6*b^2 + 38*a^4*
b^4 - 12*a^2*b^6 + b^8)/((a^16 + 8*a^14*b^2 + 28*a^12*b^4 + 56*a^10*b^6 + 70*a^8*b^8 + 56*a^6*b^10 + 28*a^4*b^
12 + 8*a^2*b^14 + b^16)*d^4))*sqrt(1/((a^8 + 4*a^6*b^2 + 6*a^4*b^4 + 4*a^2*b^6 + b^8)*d^4)) + 2*(a^13*b + 6*a^
11*b^3 + 15*a^9*b^5 + 20*a^7*b^7 + 15*a^5*b^9 + 6*a^3*b^11 + a*b^13)*d^5*sqrt((a^8 - 12*a^6*b^2 + 38*a^4*b^4 -
12*a^2*b^6 + b^8)/((a^16 + 8*a^14*b^2 + 28*a^12*b^4 + 56*a^10*b^6 + 70*a^8*b^8 + 56*a^6*b^10 + 28*a^4*b^12 +
8*a^2*b^14 + b^16)*d^4)))*sqrt((a^8 + 4*a^6*b^2 + 6*a^4*b^4 + 4*a^2*b^6 + b^8 - 4*(a^11*b + 3*a^9*b^3 + 2*a^7*
b^5 - 2*a^5*b^7 - 3*a^3*b^9 - a*b^11)*d^2*sqrt(1/((a^8 + 4*a^6*b^2 + 6*a^4*b^4 + 4*a^2*b^6 + b^8)*d^4)))/(a^8
- 12*a^6*b^2 + 38*a^4*b^4 - 12*a^2*b^6 + b^8))*sqrt(((a^12 - 10*a^10*b^2 + 15*a^8*b^4 + 52*a^6*b^6 + 15*a^4*b^
8 - 10*a^2*b^10 + b^12)*d^2*sqrt(1/((a^8 + 4*a^6*b^2 + 6*a^4*b^4 + 4*a^2*b^6 + b^8)*d^4))*cos(d*x + c) + sqrt(
2)*(2*(a^13*b - 10*a^11*b^3 + 15*a^9*b^5 + 52*a^7*b^7 + 15*a^5*b^9 - 10*a^3*b^11 + a*b^13)*d^3*sqrt(1/((a^8 +
4*a^6*b^2 + 6*a^4*b^4 + 4*a^2*b^6 + b^8)*d^4))*cos(d*x + c) + (a^10 - 13*a^8*b^2 + 50*a^6*b^4 - 50*a^4*b^6 + 1
3*a^2*b^8 - b^10)*d*cos(d*x + c))*sqrt((a^8 + 4*a^6*b^2 + 6*a^4*b^4 + 4*a^2*b^6 + b^8 - 4*(a^11*b + 3*a^9*b^3
+ 2*a^7*b^5 - 2*a^5*b^7 - 3*a^3*b^9 - a*b^11)*d^2*sqrt(1/((a^8 + 4*a^6*b^2 + 6*a^4*b^4 + 4*a^2*b^6 + b^8)*d^4)
))/(a^8 - 12*a^6*b^2 + 38*a^4*b^4 - 12*a^2*b^6 + b^8))*sqrt(sin(d*x + c)/cos(d*x + c))*(1/((a^8 + 4*a^6*b^2 +
6*a^4*b^4 + 4*a^2*b^6 + b^8)*d^4))^(1/4) + (a^8 - 12*a^6*b^2 + 38*a^4*b^4 - 12*a^2*b^6 + b^8)*sin(d*x + c))/co
s(d*x + c))*(1/((a^8 + 4*a^6*b^2 + 6*a^4*b^4 + 4*a^2*b^6 + b^8)*d^4))^(3/4) + sqrt(2)*((a^22 + a^20*b^2 - 21*a
^18*b^4 - 85*a^16*b^6 - 134*a^14*b^8 - 70*a^12*b^10 + 70*a^10*b^12 + 134*a^8*b^14 + 85*a^6*b^16 + 21*a^4*b^18
- a^2*b^20 - b^22)*d^7*sqrt((a^8 - 12*a^6*b^2 + 38*a^4*b^4 - 12*a^2*b^6 + b^8)/((a^16 + 8*a^14*b^2 + 28*a^12*b
^4 + 56*a^10*b^6 + 70*a^8*b^8 + 56*a^6*b^10 + 28*a^4*b^12 + 8*a^2*b^14 + b^16)*d^4))*sqrt(1/((a^8 + 4*a^6*b^2
+ 6*a^4*b^4 + 4*a^2*b^6 + b^8)*d^4)) + 2*(a^17*b - 20*a^13*b^5 - 64*a^11*b^7 - 90*a^9*b^9 - 64*a^7*b^11 - 20*a
^5*b^13 + a*b^17)*d^5*sqrt((a^8 - 12*a^6*b^2 + 38*a^4*b^4 - 12*a^2*b^6 + b^8)/((a^16 + 8*a^14*b^2 + 28*a^12*b^
4 + 56*a^10*b^6 + 70*a^8*b^8 + 56*a^6*b^10 + 28*a^4*b^12 + 8*a^2*b^14 + b^16)*d^4)))*sqrt((a^8 + 4*a^6*b^2 + 6
*a^4*b^4 + 4*a^2*b^6 + b^8 - 4*(a^11*b + 3*a^9*b^3 + 2*a^7*b^5 - 2*a^5*b^7 - 3*a^3*b^9 - a*b^11)*d^2*sqrt(1/((
a^8 + 4*a^6*b^2 + 6*a^4*b^4 + 4*a^2*b^6 + b^8)*d^4)))/(a^8 - 12*a^6*b^2 + 38*a^4*b^4 - 12*a^2*b^6 + b^8))*sqrt
(sin(d*x + c)/cos(d*x + c))*(1/((a^8 + 4*a^6*b^2 + 6*a^4*b^4 + 4*a^2*b^6 + b^8)*d^4))^(3/4))/(a^8 - 12*a^6*b^2
+ 38*a^4*b^4 - 12*a^2*b^6 + b^8)) + 4*sqrt(2)*((a^14*b^2 + 5*a^12*b^4 + 9*a^10*b^6 + 5*a^8*b^8 - 5*a^6*b^10 -
9*a^4*b^12 - 5*a^2*b^14 - b^16)*d^5*cos(d*x + c)^2 + 2*(a^13*b^3 + 6*a^11*b^5 + 15*a^9*b^7 + 20*a^7*b^9 + 15*
a^5*b^11 + 6*a^3*b^13 + a*b^15)*d^5*cos(d*x + c)*sin(d*x + c) + (a^12*b^4 + 6*a^10*b^6 + 15*a^8*b^8 + 20*a^6*b
^10 + 15*a^4*b^12 + 6*a^2*b^14 + b^16)*d^5)*sqrt((a^8 + 4*a^6*b^2 + 6*a^4*b^4 + 4*a^2*b^6 + b^8 - 4*(a^11*b +
3*a^9*b^3 + 2*a^7*b^5 - 2*a^5*b^7 - 3*a^3*b^9 - a*b^11)*d^2*sqrt(1/((a^8 + 4*a^6*b^2 + 6*a^4*b^4 + 4*a^2*b^6 +
b^8)*d^4)))/(a^8 - 12*a^6*b^2 + 38*a^4*b^4 - 12*a^2*b^6 + b^8))*sqrt((a^8 - 12*a^6*b^2 + 38*a^4*b^4 - 12*a^2*
b^6 + b^8)/((a^16 + 8*a^14*b^2 + 28*a^12*b^4 + 56*a^10*b^6 + 70*a^8*b^8 + 56*a^6*b^10 + 28*a^4*b^12 + 8*a^2*b^
14 + b^16)*d^4))*(1/((a^8 + 4*a^6*b^2 + 6*a^4*b^4 + 4*a^2*b^6 + b^8)*d^4))^(3/4)*arctan(-((a^16 - 20*a^12*b^4
- 64*a^10*b^6 - 90*a^8*b^8 - 64*a^6*b^10 - 20*a^4*b^12 + b^16)*d^4*sqrt((a^8 - 12*a^6*b^2 + 38*a^4*b^4 - 12*a^
2*b^6 + b^8)/((a^16 + 8*a^14*b^2 + 28*a^12*b^4 + 56*a^10*b^6 + 70*a^8*b^8 + 56*a^6*b^10 + 28*a^4*b^12 + 8*a^2*
b^14 + b^16)*d^4))*sqrt(1/((a^8 + 4*a^6*b^2 + 6*a^4*b^4 + 4*a^2*b^6 + b^8)*d^4)) + sqrt(2)*((a^18 + 7*a^16*b^2
+ 20*a^14*b^4 + 28*a^12*b^6 + 14*a^10*b^8 - 14*a^8*b^10 - 28*a^6*b^12 - 20*a^4*b^14 - 7*a^2*b^16 - b^18)*d^7*
sqrt((a^8 - 12*a^6*b^2 + 38*a^4*b^4 - 12*a^2*b^6 + b^8)/((a^16 + 8*a^14*b^2 + 28*a^12*b^4 + 56*a^10*b^6 + 70*a
^8*b^8 + 56*a^6*b^10 + 28*a^4*b^12 + 8*a^2*b^14 + b^16)*d^4))*sqrt(1/((a^8 + 4*a^6*b^2 + 6*a^4*b^4 + 4*a^2*b^6
+ b^8)*d^4)) + 2*(a^13*b + 6*a^11*b^3 + 15*a^9*b^5 + 20*a^7*b^7 + 15*a^5*b^9 + 6*a^3*b^11 + a*b^13)*d^5*sqrt(
(a^8 - 12*a^6*b^2 + 38*a^4*b^4 - 12*a^2*b^6 + b^8)/((a^16 + 8*a^14*b^2 + 28*a^12*b^4 + 56*a^10*b^6 + 70*a^8*b^
8 + 56*a^6*b^10 + 28*a^4*b^12 + 8*a^2*b^14 + b^16)*d^4)))*sqrt((a^8 + 4*a^6*b^2 + 6*a^4*b^4 + 4*a^2*b^6 + b^8
- 4*(a^11*b + 3*a^9*b^3 + 2*a^7*b^5 - 2*a^5*b^7 - 3*a^3*b^9 - a*b^11)*d^2*sqrt(1/((a^8 + 4*a^6*b^2 + 6*a^4*b^4
+ 4*a^2*b^6 + b^8)*d^4)))/(a^8 - 12*a^6*b^2 + 38*a^4*b^4 - 12*a^2*b^6 + b^8))*sqrt(((a^12 - 10*a^10*b^2 + 15*
a^8*b^4 + 52*a^6*b^6 + 15*a^4*b^8 - 10*a^2*b^10 + b^12)*d^2*sqrt(1/((a^8 + 4*a^6*b^2 + 6*a^4*b^4 + 4*a^2*b^6 +
b^8)*d^4))*cos(d*x + c) - sqrt(2)*(2*(a^13*b - 10*a^11*b^3 + 15*a^9*b^5 + 52*a^7*b^7 + 15*a^5*b^9 - 10*a^3*b^
11 + a*b^13)*d^3*sqrt(1/((a^8 + 4*a^6*b^2 + 6*a^4*b^4 + 4*a^2*b^6 + b^8)*d^4))*cos(d*x + c) + (a^10 - 13*a^8*b
^2 + 50*a^6*b^4 - 50*a^4*b^6 + 13*a^2*b^8 - b^10)*d*cos(d*x + c))*sqrt((a^8 + 4*a^6*b^2 + 6*a^4*b^4 + 4*a^2*b^
6 + b^8 - 4*(a^11*b + 3*a^9*b^3 + 2*a^7*b^5 - 2*a^5*b^7 - 3*a^3*b^9 - a*b^11)*d^2*sqrt(1/((a^8 + 4*a^6*b^2 + 6
*a^4*b^4 + 4*a^2*b^6 + b^8)*d^4)))/(a^8 - 12*a^6*b^2 + 38*a^4*b^4 - 12*a^2*b^6 + b^8))*sqrt(sin(d*x + c)/cos(d
*x + c))*(1/((a^8 + 4*a^6*b^2 + 6*a^4*b^4 + 4*a^2*b^6 + b^8)*d^4))^(1/4) + (a^8 - 12*a^6*b^2 + 38*a^4*b^4 - 12
*a^2*b^6 + b^8)*sin(d*x + c))/cos(d*x + c))*(1/((a^8 + 4*a^6*b^2 + 6*a^4*b^4 + 4*a^2*b^6 + b^8)*d^4))^(3/4) -
sqrt(2)*((a^22 + a^20*b^2 - 21*a^18*b^4 - 85*a^16*b^6 - 134*a^14*b^8 - 70*a^12*b^10 + 70*a^10*b^12 + 134*a^8*b
^14 + 85*a^6*b^16 + 21*a^4*b^18 - a^2*b^20 - b^22)*d^7*sqrt((a^8 - 12*a^6*b^2 + 38*a^4*b^4 - 12*a^2*b^6 + b^8)
/((a^16 + 8*a^14*b^2 + 28*a^12*b^4 + 56*a^10*b^6 + 70*a^8*b^8 + 56*a^6*b^10 + 28*a^4*b^12 + 8*a^2*b^14 + b^16)
*d^4))*sqrt(1/((a^8 + 4*a^6*b^2 + 6*a^4*b^4 + 4*a^2*b^6 + b^8)*d^4)) + 2*(a^17*b - 20*a^13*b^5 - 64*a^11*b^7 -
90*a^9*b^9 - 64*a^7*b^11 - 20*a^5*b^13 + a*b^17)*d^5*sqrt((a^8 - 12*a^6*b^2 + 38*a^4*b^4 - 12*a^2*b^6 + b^8)/
((a^16 + 8*a^14*b^2 + 28*a^12*b^4 + 56*a^10*b^6 + 70*a^8*b^8 + 56*a^6*b^10 + 28*a^4*b^12 + 8*a^2*b^14 + b^16)*
d^4)))*sqrt((a^8 + 4*a^6*b^2 + 6*a^4*b^4 + 4*a^2*b^6 + b^8 - 4*(a^11*b + 3*a^9*b^3 + 2*a^7*b^5 - 2*a^5*b^7 - 3
*a^3*b^9 - a*b^11)*d^2*sqrt(1/((a^8 + 4*a^6*b^2 + 6*a^4*b^4 + 4*a^2*b^6 + b^8)*d^4)))/(a^8 - 12*a^6*b^2 + 38*a
^4*b^4 - 12*a^2*b^6 + b^8))*sqrt(sin(d*x + c)/cos(d*x + c))*(1/((a^8 + 4*a^6*b^2 + 6*a^4*b^4 + 4*a^2*b^6 + b^8
)*d^4))^(3/4))/(a^8 - 12*a^6*b^2 + 38*a^4*b^4 - 12*a^2*b^6 + b^8)) + sqrt(2)*((a^6*b^2 + a^4*b^4 - a^2*b^6 - b
^8)*d*cos(d*x + c)^2 + 2*(a^5*b^3 + 2*a^3*b^5 + a*b^7)*d*cos(d*x + c)*sin(d*x + c) + (a^4*b^4 + 2*a^2*b^6 + b^
8)*d + 4*((a^9*b^3 - 2*a^5*b^7 + a*b^11)*d^3*cos(d*x + c)^2 + 2*(a^8*b^4 + a^6*b^6 - a^4*b^8 - a^2*b^10)*d^3*c
os(d*x + c)*sin(d*x + c) + (a^7*b^5 + a^5*b^7 - a^3*b^9 - a*b^11)*d^3)*sqrt(1/((a^8 + 4*a^6*b^2 + 6*a^4*b^4 +
4*a^2*b^6 + b^8)*d^4)))*sqrt((a^8 + 4*a^6*b^2 + 6*a^4*b^4 + 4*a^2*b^6 + b^8 - 4*(a^11*b + 3*a^9*b^3 + 2*a^7*b^
5 - 2*a^5*b^7 - 3*a^3*b^9 - a*b^11)*d^2*sqrt(1/((a^8 + 4*a^6*b^2 + 6*a^4*b^4 + 4*a^2*b^6 + b^8)*d^4)))/(a^8 -
12*a^6*b^2 + 38*a^4*b^4 - 12*a^2*b^6 + b^8))*(1/((a^8 + 4*a^6*b^2 + 6*a^4*b^4 + 4*a^2*b^6 + b^8)*d^4))^(1/4)*l
og(((a^12 - 10*a^10*b^2 + 15*a^8*b^4 + 52*a^6*b^6 + 15*a^4*b^8 - 10*a^2*b^10 + b^12)*d^2*sqrt(1/((a^8 + 4*a^6*
b^2 + 6*a^4*b^4 + 4*a^2*b^6 + b^8)*d^4))*cos(d*x + c) + sqrt(2)*(2*(a^13*b - 10*a^11*b^3 + 15*a^9*b^5 + 52*a^7
*b^7 + 15*a^5*b^9 - 10*a^3*b^11 + a*b^13)*d^3*sqrt(1/((a^8 + 4*a^6*b^2 + 6*a^4*b^4 + 4*a^2*b^6 + b^8)*d^4))*co
s(d*x + c) + (a^10 - 13*a^8*b^2 + 50*a^6*b^4 - 50*a^4*b^6 + 13*a^2*b^8 - b^10)*d*cos(d*x + c))*sqrt((a^8 + 4*a
^6*b^2 + 6*a^4*b^4 + 4*a^2*b^6 + b^8 - 4*(a^11*b + 3*a^9*b^3 + 2*a^7*b^5 - 2*a^5*b^7 - 3*a^3*b^9 - a*b^11)*d^2
*sqrt(1/((a^8 + 4*a^6*b^2 + 6*a^4*b^4 + 4*a^2*b^6 + b^8)*d^4)))/(a^8 - 12*a^6*b^2 + 38*a^4*b^4 - 12*a^2*b^6 +
b^8))*sqrt(sin(d*x + c)/cos(d*x + c))*(1/((a^8 + 4*a^6*b^2 + 6*a^4*b^4 + 4*a^2*b^6 + b^8)*d^4))^(1/4) + (a^8 -
12*a^6*b^2 + 38*a^4*b^4 - 12*a^2*b^6 + b^8)*sin(d*x + c))/cos(d*x + c)) - sqrt(2)*((a^6*b^2 + a^4*b^4 - a^2*b
^6 - b^8)*d*cos(d*x + c)^2 + 2*(a^5*b^3 + 2*a^3*b^5 + a*b^7)*d*cos(d*x + c)*sin(d*x + c) + (a^4*b^4 + 2*a^2*b^
6 + b^8)*d + 4*((a^9*b^3 - 2*a^5*b^7 + a*b^11)*d^3*cos(d*x + c)^2 + 2*(a^8*b^4 + a^6*b^6 - a^4*b^8 - a^2*b^10)
*d^3*cos(d*x + c)*sin(d*x + c) + (a^7*b^5 + a^5*b^7 - a^3*b^9 - a*b^11)*d^3)*sqrt(1/((a^8 + 4*a^6*b^2 + 6*a^4*
b^4 + 4*a^2*b^6 + b^8)*d^4)))*sqrt((a^8 + 4*a^6*b^2 + 6*a^4*b^4 + 4*a^2*b^6 + b^8 - 4*(a^11*b + 3*a^9*b^3 + 2*
a^7*b^5 - 2*a^5*b^7 - 3*a^3*b^9 - a*b^11)*d^2*sqrt(1/((a^8 + 4*a^6*b^2 + 6*a^4*b^4 + 4*a^2*b^6 + b^8)*d^4)))/(
a^8 - 12*a^6*b^2 + 38*a^4*b^4 - 12*a^2*b^6 + b^8))*(1/((a^8 + 4*a^6*b^2 + 6*a^4*b^4 + 4*a^2*b^6 + b^8)*d^4))^(
1/4)*log(((a^12 - 10*a^10*b^2 + 15*a^8*b^4 + 52*a^6*b^6 + 15*a^4*b^8 - 10*a^2*b^10 + b^12)*d^2*sqrt(1/((a^8 +
4*a^6*b^2 + 6*a^4*b^4 + 4*a^2*b^6 + b^8)*d^4))*cos(d*x + c) - sqrt(2)*(2*(a^13*b - 10*a^11*b^3 + 15*a^9*b^5 +
52*a^7*b^7 + 15*a^5*b^9 - 10*a^3*b^11 + a*b^13)*d^3*sqrt(1/((a^8 + 4*a^6*b^2 + 6*a^4*b^4 + 4*a^2*b^6 + b^8)*d^
4))*cos(d*x + c) + (a^10 - 13*a^8*b^2 + 50*a^6*b^4 - 50*a^4*b^6 + 13*a^2*b^8 - b^10)*d*cos(d*x + c))*sqrt((a^8
+ 4*a^6*b^2 + 6*a^4*b^4 + 4*a^2*b^6 + b^8 - 4*(a^11*b + 3*a^9*b^3 + 2*a^7*b^5 - 2*a^5*b^7 - 3*a^3*b^9 - a*b^1
1)*d^2*sqrt(1/((a^8 + 4*a^6*b^2 + 6*a^4*b^4 + 4*a^2*b^6 + b^8)*d^4)))/(a^8 - 12*a^6*b^2 + 38*a^4*b^4 - 12*a^2*
b^6 + b^8))*sqrt(sin(d*x + c)/cos(d*x + c))*(1/((a^8 + 4*a^6*b^2 + 6*a^4*b^4 + 4*a^2*b^6 + b^8)*d^4))^(1/4) +
(a^8 - 12*a^6*b^2 + 38*a^4*b^4 - 12*a^2*b^6 + b^8)*sin(d*x + c))/cos(d*x + c)) + (3*a^4*b^2 + 7*a^2*b^4 + (3*a
^6 + 4*a^4*b^2 - 7*a^2*b^4)*cos(d*x + c)^2 + 2*(3*a^5*b + 7*a^3*b^3)*cos(d*x + c)*sin(d*x + c))*sqrt(-a/b)*log
(-(6*a*b*cos(d*x + c)*sin(d*x + c) - (a^2 - b^2)*cos(d*x + c)^2 - b^2 - 4*(a*b*cos(d*x + c)^2 - b^2*cos(d*x +
c)*sin(d*x + c))*sqrt(-a/b)*sqrt(sin(d*x + c)/cos(d*x + c)))/(2*a*b*cos(d*x + c)*sin(d*x + c) + (a^2 - b^2)*co
s(d*x + c)^2 + b^2)) + 4*(2*a^4*b^2 + 4*a^2*b^4 + 2*b^6 + (3*a^6 + 3*a^4*b^2 - 2*a^2*b^4 - 2*b^6)*cos(d*x + c)
^2 + (5*a^5*b + 9*a^3*b^3 + 4*a*b^5)*cos(d*x + c)*sin(d*x + c))*sqrt(sin(d*x + c)/cos(d*x + c)))/((a^6*b^2 + a
^4*b^4 - a^2*b^6 - b^8)*d*cos(d*x + c)^2 + 2*(a^5*b^3 + 2*a^3*b^5 + a*b^7)*d*cos(d*x + c)*sin(d*x + c) + (a^4*
b^4 + 2*a^2*b^6 + b^8)*d), 1/4*(4*sqrt(2)*((a^14*b^2 + 5*a^12*b^4 + 9*a^10*b^6 + 5*a^8*b^8 - 5*a^6*b^10 - 9*a^
4*b^12 - 5*a^2*b^14 - b^16)*d^5*cos(d*x + c)^2 + 2*(a^13*b^3 + 6*a^11*b^5 + 15*a^9*b^7 + 20*a^7*b^9 + 15*a^5*b
^11 + 6*a^3*b^13 + a*b^15)*d^5*cos(d*x + c)*sin(d*x + c) + (a^12*b^4 + 6*a^10*b^6 + 15*a^8*b^8 + 20*a^6*b^10 +
15*a^4*b^12 + 6*a^2*b^14 + b^16)*d^5)*sqrt((a^8 + 4*a^6*b^2 + 6*a^4*b^4 + 4*a^2*b^6 + b^8 - 4*(a^11*b + 3*a^9
*b^3 + 2*a^7*b^5 - 2*a^5*b^7 - 3*a^3*b^9 - a*b^11)*d^2*sqrt(1/((a^8 + 4*a^6*b^2 + 6*a^4*b^4 + 4*a^2*b^6 + b^8)
*d^4)))/(a^8 - 12*a^6*b^2 + 38*a^4*b^4 - 12*a^2*b^6 + b^8))*sqrt((a^8 - 12*a^6*b^2 + 38*a^4*b^4 - 12*a^2*b^6 +
b^8)/((a^16 + 8*a^14*b^2 + 28*a^12*b^4 + 56*a^10*b^6 + 70*a^8*b^8 + 56*a^6*b^10 + 28*a^4*b^12 + 8*a^2*b^14 +
b^16)*d^4))*(1/((a^8 + 4*a^6*b^2 + 6*a^4*b^4 + 4*a^2*b^6 + b^8)*d^4))^(3/4)*arctan(((a^16 - 20*a^12*b^4 - 64*a
^10*b^6 - 90*a^8*b^8 - 64*a^6*b^10 - 20*a^4*b^12 + b^16)*d^4*sqrt((a^8 - 12*a^6*b^2 + 38*a^4*b^4 - 12*a^2*b^6
+ b^8)/((a^16 + 8*a^14*b^2 + 28*a^12*b^4 + 56*a^10*b^6 + 70*a^8*b^8 + 56*a^6*b^10 + 28*a^4*b^12 + 8*a^2*b^14 +
b^16)*d^4))*sqrt(1/((a^8 + 4*a^6*b^2 + 6*a^4*b^4 + 4*a^2*b^6 + b^8)*d^4)) - sqrt(2)*((a^18 + 7*a^16*b^2 + 20*
a^14*b^4 + 28*a^12*b^6 + 14*a^10*b^8 - 14*a^8*b^10 - 28*a^6*b^12 - 20*a^4*b^14 - 7*a^2*b^16 - b^18)*d^7*sqrt((
a^8 - 12*a^6*b^2 + 38*a^4*b^4 - 12*a^2*b^6 + b^8)/((a^16 + 8*a^14*b^2 + 28*a^12*b^4 + 56*a^10*b^6 + 70*a^8*b^8
+ 56*a^6*b^10 + 28*a^4*b^12 + 8*a^2*b^14 + b^16)*d^4))*sqrt(1/((a^8 + 4*a^6*b^2 + 6*a^4*b^4 + 4*a^2*b^6 + b^8
)*d^4)) + 2*(a^13*b + 6*a^11*b^3 + 15*a^9*b^5 + 20*a^7*b^7 + 15*a^5*b^9 + 6*a^3*b^11 + a*b^13)*d^5*sqrt((a^8 -
12*a^6*b^2 + 38*a^4*b^4 - 12*a^2*b^6 + b^8)/((a^16 + 8*a^14*b^2 + 28*a^12*b^4 + 56*a^10*b^6 + 70*a^8*b^8 + 56
*a^6*b^10 + 28*a^4*b^12 + 8*a^2*b^14 + b^16)*d^4)))*sqrt((a^8 + 4*a^6*b^2 + 6*a^4*b^4 + 4*a^2*b^6 + b^8 - 4*(a
^11*b + 3*a^9*b^3 + 2*a^7*b^5 - 2*a^5*b^7 - 3*a^3*b^9 - a*b^11)*d^2*sqrt(1/((a^8 + 4*a^6*b^2 + 6*a^4*b^4 + 4*a
^2*b^6 + b^8)*d^4)))/(a^8 - 12*a^6*b^2 + 38*a^4*b^4 - 12*a^2*b^6 + b^8))*sqrt(((a^12 - 10*a^10*b^2 + 15*a^8*b^
4 + 52*a^6*b^6 + 15*a^4*b^8 - 10*a^2*b^10 + b^12)*d^2*sqrt(1/((a^8 + 4*a^6*b^2 + 6*a^4*b^4 + 4*a^2*b^6 + b^8)*
d^4))*cos(d*x + c) + sqrt(2)*(2*(a^13*b - 10*a^11*b^3 + 15*a^9*b^5 + 52*a^7*b^7 + 15*a^5*b^9 - 10*a^3*b^11 + a
*b^13)*d^3*sqrt(1/((a^8 + 4*a^6*b^2 + 6*a^4*b^4 + 4*a^2*b^6 + b^8)*d^4))*cos(d*x + c) + (a^10 - 13*a^8*b^2 + 5
0*a^6*b^4 - 50*a^4*b^6 + 13*a^2*b^8 - b^10)*d*cos(d*x + c))*sqrt((a^8 + 4*a^6*b^2 + 6*a^4*b^4 + 4*a^2*b^6 + b^
8 - 4*(a^11*b + 3*a^9*b^3 + 2*a^7*b^5 - 2*a^5*b^7 - 3*a^3*b^9 - a*b^11)*d^2*sqrt(1/((a^8 + 4*a^6*b^2 + 6*a^4*b
^4 + 4*a^2*b^6 + b^8)*d^4)))/(a^8 - 12*a^6*b^2 + 38*a^4*b^4 - 12*a^2*b^6 + b^8))*sqrt(sin(d*x + c)/cos(d*x + c
))*(1/((a^8 + 4*a^6*b^2 + 6*a^4*b^4 + 4*a^2*b^6 + b^8)*d^4))^(1/4) + (a^8 - 12*a^6*b^2 + 38*a^4*b^4 - 12*a^2*b
^6 + b^8)*sin(d*x + c))/cos(d*x + c))*(1/((a^8 + 4*a^6*b^2 + 6*a^4*b^4 + 4*a^2*b^6 + b^8)*d^4))^(3/4) + sqrt(2
)*((a^22 + a^20*b^2 - 21*a^18*b^4 - 85*a^16*b^6 - 134*a^14*b^8 - 70*a^12*b^10 + 70*a^10*b^12 + 134*a^8*b^14 +
85*a^6*b^16 + 21*a^4*b^18 - a^2*b^20 - b^22)*d^7*sqrt((a^8 - 12*a^6*b^2 + 38*a^4*b^4 - 12*a^2*b^6 + b^8)/((a^1
6 + 8*a^14*b^2 + 28*a^12*b^4 + 56*a^10*b^6 + 70*a^8*b^8 + 56*a^6*b^10 + 28*a^4*b^12 + 8*a^2*b^14 + b^16)*d^4))
*sqrt(1/((a^8 + 4*a^6*b^2 + 6*a^4*b^4 + 4*a^2*b^6 + b^8)*d^4)) + 2*(a^17*b - 20*a^13*b^5 - 64*a^11*b^7 - 90*a^
9*b^9 - 64*a^7*b^11 - 20*a^5*b^13 + a*b^17)*d^5*sqrt((a^8 - 12*a^6*b^2 + 38*a^4*b^4 - 12*a^2*b^6 + b^8)/((a^16
+ 8*a^14*b^2 + 28*a^12*b^4 + 56*a^10*b^6 + 70*a^8*b^8 + 56*a^6*b^10 + 28*a^4*b^12 + 8*a^2*b^14 + b^16)*d^4)))
*sqrt((a^8 + 4*a^6*b^2 + 6*a^4*b^4 + 4*a^2*b^6 + b^8 - 4*(a^11*b + 3*a^9*b^3 + 2*a^7*b^5 - 2*a^5*b^7 - 3*a^3*b
^9 - a*b^11)*d^2*sqrt(1/((a^8 + 4*a^6*b^2 + 6*a^4*b^4 + 4*a^2*b^6 + b^8)*d^4)))/(a^8 - 12*a^6*b^2 + 38*a^4*b^4
- 12*a^2*b^6 + b^8))*sqrt(sin(d*x + c)/cos(d*x + c))*(1/((a^8 + 4*a^6*b^2 + 6*a^4*b^4 + 4*a^2*b^6 + b^8)*d^4)
)^(3/4))/(a^8 - 12*a^6*b^2 + 38*a^4*b^4 - 12*a^2*b^6 + b^8)) + 4*sqrt(2)*((a^14*b^2 + 5*a^12*b^4 + 9*a^10*b^6
+ 5*a^8*b^8 - 5*a^6*b^10 - 9*a^4*b^12 - 5*a^2*b^14 - b^16)*d^5*cos(d*x + c)^2 + 2*(a^13*b^3 + 6*a^11*b^5 + 15*
a^9*b^7 + 20*a^7*b^9 + 15*a^5*b^11 + 6*a^3*b^13 + a*b^15)*d^5*cos(d*x + c)*sin(d*x + c) + (a^12*b^4 + 6*a^10*b
^6 + 15*a^8*b^8 + 20*a^6*b^10 + 15*a^4*b^12 + 6*a^2*b^14 + b^16)*d^5)*sqrt((a^8 + 4*a^6*b^2 + 6*a^4*b^4 + 4*a^
2*b^6 + b^8 - 4*(a^11*b + 3*a^9*b^3 + 2*a^7*b^5 - 2*a^5*b^7 - 3*a^3*b^9 - a*b^11)*d^2*sqrt(1/((a^8 + 4*a^6*b^2
+ 6*a^4*b^4 + 4*a^2*b^6 + b^8)*d^4)))/(a^8 - 12*a^6*b^2 + 38*a^4*b^4 - 12*a^2*b^6 + b^8))*sqrt((a^8 - 12*a^6*
b^2 + 38*a^4*b^4 - 12*a^2*b^6 + b^8)/((a^16 + 8*a^14*b^2 + 28*a^12*b^4 + 56*a^10*b^6 + 70*a^8*b^8 + 56*a^6*b^1
0 + 28*a^4*b^12 + 8*a^2*b^14 + b^16)*d^4))*(1/((a^8 + 4*a^6*b^2 + 6*a^4*b^4 + 4*a^2*b^6 + b^8)*d^4))^(3/4)*arc
tan(-((a^16 - 20*a^12*b^4 - 64*a^10*b^6 - 90*a^8*b^8 - 64*a^6*b^10 - 20*a^4*b^12 + b^16)*d^4*sqrt((a^8 - 12*a^
6*b^2 + 38*a^4*b^4 - 12*a^2*b^6 + b^8)/((a^16 + 8*a^14*b^2 + 28*a^12*b^4 + 56*a^10*b^6 + 70*a^8*b^8 + 56*a^6*b
^10 + 28*a^4*b^12 + 8*a^2*b^14 + b^16)*d^4))*sqrt(1/((a^8 + 4*a^6*b^2 + 6*a^4*b^4 + 4*a^2*b^6 + b^8)*d^4)) + s
qrt(2)*((a^18 + 7*a^16*b^2 + 20*a^14*b^4 + 28*a^12*b^6 + 14*a^10*b^8 - 14*a^8*b^10 - 28*a^6*b^12 - 20*a^4*b^14
- 7*a^2*b^16 - b^18)*d^7*sqrt((a^8 - 12*a^6*b^2 + 38*a^4*b^4 - 12*a^2*b^6 + b^8)/((a^16 + 8*a^14*b^2 + 28*a^1
2*b^4 + 56*a^10*b^6 + 70*a^8*b^8 + 56*a^6*b^10 + 28*a^4*b^12 + 8*a^2*b^14 + b^16)*d^4))*sqrt(1/((a^8 + 4*a^6*b
^2 + 6*a^4*b^4 + 4*a^2*b^6 + b^8)*d^4)) + 2*(a^13*b + 6*a^11*b^3 + 15*a^9*b^5 + 20*a^7*b^7 + 15*a^5*b^9 + 6*a^
3*b^11 + a*b^13)*d^5*sqrt((a^8 - 12*a^6*b^2 + 38*a^4*b^4 - 12*a^2*b^6 + b^8)/((a^16 + 8*a^14*b^2 + 28*a^12*b^4
+ 56*a^10*b^6 + 70*a^8*b^8 + 56*a^6*b^10 + 28*a^4*b^12 + 8*a^2*b^14 + b^16)*d^4)))*sqrt((a^8 + 4*a^6*b^2 + 6*
a^4*b^4 + 4*a^2*b^6 + b^8 - 4*(a^11*b + 3*a^9*b^3 + 2*a^7*b^5 - 2*a^5*b^7 - 3*a^3*b^9 - a*b^11)*d^2*sqrt(1/((a
^8 + 4*a^6*b^2 + 6*a^4*b^4 + 4*a^2*b^6 + b^8)*d^4)))/(a^8 - 12*a^6*b^2 + 38*a^4*b^4 - 12*a^2*b^6 + b^8))*sqrt(
((a^12 - 10*a^10*b^2 + 15*a^8*b^4 + 52*a^6*b^6 + 15*a^4*b^8 - 10*a^2*b^10 + b^12)*d^2*sqrt(1/((a^8 + 4*a^6*b^2
+ 6*a^4*b^4 + 4*a^2*b^6 + b^8)*d^4))*cos(d*x + c) - sqrt(2)*(2*(a^13*b - 10*a^11*b^3 + 15*a^9*b^5 + 52*a^7*b^
7 + 15*a^5*b^9 - 10*a^3*b^11 + a*b^13)*d^3*sqrt(1/((a^8 + 4*a^6*b^2 + 6*a^4*b^4 + 4*a^2*b^6 + b^8)*d^4))*cos(d
*x + c) + (a^10 - 13*a^8*b^2 + 50*a^6*b^4 - 50*a^4*b^6 + 13*a^2*b^8 - b^10)*d*cos(d*x + c))*sqrt((a^8 + 4*a^6*
b^2 + 6*a^4*b^4 + 4*a^2*b^6 + b^8 - 4*(a^11*b + 3*a^9*b^3 + 2*a^7*b^5 - 2*a^5*b^7 - 3*a^3*b^9 - a*b^11)*d^2*sq
rt(1/((a^8 + 4*a^6*b^2 + 6*a^4*b^4 + 4*a^2*b^6 + b^8)*d^4)))/(a^8 - 12*a^6*b^2 + 38*a^4*b^4 - 12*a^2*b^6 + b^8
))*sqrt(sin(d*x + c)/cos(d*x + c))*(1/((a^8 + 4*a^6*b^2 + 6*a^4*b^4 + 4*a^2*b^6 + b^8)*d^4))^(1/4) + (a^8 - 12
*a^6*b^2 + 38*a^4*b^4 - 12*a^2*b^6 + b^8)*sin(d*x + c))/cos(d*x + c))*(1/((a^8 + 4*a^6*b^2 + 6*a^4*b^4 + 4*a^2
*b^6 + b^8)*d^4))^(3/4) - sqrt(2)*((a^22 + a^20*b^2 - 21*a^18*b^4 - 85*a^16*b^6 - 134*a^14*b^8 - 70*a^12*b^10
+ 70*a^10*b^12 + 134*a^8*b^14 + 85*a^6*b^16 + 21*a^4*b^18 - a^2*b^20 - b^22)*d^7*sqrt((a^8 - 12*a^6*b^2 + 38*a
^4*b^4 - 12*a^2*b^6 + b^8)/((a^16 + 8*a^14*b^2 + 28*a^12*b^4 + 56*a^10*b^6 + 70*a^8*b^8 + 56*a^6*b^10 + 28*a^4
*b^12 + 8*a^2*b^14 + b^16)*d^4))*sqrt(1/((a^8 + 4*a^6*b^2 + 6*a^4*b^4 + 4*a^2*b^6 + b^8)*d^4)) + 2*(a^17*b - 2
0*a^13*b^5 - 64*a^11*b^7 - 90*a^9*b^9 - 64*a^7*b^11 - 20*a^5*b^13 + a*b^17)*d^5*sqrt((a^8 - 12*a^6*b^2 + 38*a^
4*b^4 - 12*a^2*b^6 + b^8)/((a^16 + 8*a^14*b^2 + 28*a^12*b^4 + 56*a^10*b^6 + 70*a^8*b^8 + 56*a^6*b^10 + 28*a^4*
b^12 + 8*a^2*b^14 + b^16)*d^4)))*sqrt((a^8 + 4*a^6*b^2 + 6*a^4*b^4 + 4*a^2*b^6 + b^8 - 4*(a^11*b + 3*a^9*b^3 +
2*a^7*b^5 - 2*a^5*b^7 - 3*a^3*b^9 - a*b^11)*d^2*sqrt(1/((a^8 + 4*a^6*b^2 + 6*a^4*b^4 + 4*a^2*b^6 + b^8)*d^4))
)/(a^8 - 12*a^6*b^2 + 38*a^4*b^4 - 12*a^2*b^6 + b^8))*sqrt(sin(d*x + c)/cos(d*x + c))*(1/((a^8 + 4*a^6*b^2 + 6
*a^4*b^4 + 4*a^2*b^6 + b^8)*d^4))^(3/4))/(a^8 - 12*a^6*b^2 + 38*a^4*b^4 - 12*a^2*b^6 + b^8)) + sqrt(2)*((a^6*b
^2 + a^4*b^4 - a^2*b^6 - b^8)*d*cos(d*x + c)^2 + 2*(a^5*b^3 + 2*a^3*b^5 + a*b^7)*d*cos(d*x + c)*sin(d*x + c) +
(a^4*b^4 + 2*a^2*b^6 + b^8)*d + 4*((a^9*b^3 - 2*a^5*b^7 + a*b^11)*d^3*cos(d*x + c)^2 + 2*(a^8*b^4 + a^6*b^6 -
a^4*b^8 - a^2*b^10)*d^3*cos(d*x + c)*sin(d*x + c) + (a^7*b^5 + a^5*b^7 - a^3*b^9 - a*b^11)*d^3)*sqrt(1/((a^8
+ 4*a^6*b^2 + 6*a^4*b^4 + 4*a^2*b^6 + b^8)*d^4)))*sqrt((a^8 + 4*a^6*b^2 + 6*a^4*b^4 + 4*a^2*b^6 + b^8 - 4*(a^1
1*b + 3*a^9*b^3 + 2*a^7*b^5 - 2*a^5*b^7 - 3*a^3*b^9 - a*b^11)*d^2*sqrt(1/((a^8 + 4*a^6*b^2 + 6*a^4*b^4 + 4*a^2
*b^6 + b^8)*d^4)))/(a^8 - 12*a^6*b^2 + 38*a^4*b^4 - 12*a^2*b^6 + b^8))*(1/((a^8 + 4*a^6*b^2 + 6*a^4*b^4 + 4*a^
2*b^6 + b^8)*d^4))^(1/4)*log(((a^12 - 10*a^10*b^2 + 15*a^8*b^4 + 52*a^6*b^6 + 15*a^4*b^8 - 10*a^2*b^10 + b^12)
*d^2*sqrt(1/((a^8 + 4*a^6*b^2 + 6*a^4*b^4 + 4*a^2*b^6 + b^8)*d^4))*cos(d*x + c) + sqrt(2)*(2*(a^13*b - 10*a^11
*b^3 + 15*a^9*b^5 + 52*a^7*b^7 + 15*a^5*b^9 - 10*a^3*b^11 + a*b^13)*d^3*sqrt(1/((a^8 + 4*a^6*b^2 + 6*a^4*b^4 +
4*a^2*b^6 + b^8)*d^4))*cos(d*x + c) + (a^10 - 13*a^8*b^2 + 50*a^6*b^4 - 50*a^4*b^6 + 13*a^2*b^8 - b^10)*d*cos
(d*x + c))*sqrt((a^8 + 4*a^6*b^2 + 6*a^4*b^4 + 4*a^2*b^6 + b^8 - 4*(a^11*b + 3*a^9*b^3 + 2*a^7*b^5 - 2*a^5*b^7
- 3*a^3*b^9 - a*b^11)*d^2*sqrt(1/((a^8 + 4*a^6*b^2 + 6*a^4*b^4 + 4*a^2*b^6 + b^8)*d^4)))/(a^8 - 12*a^6*b^2 +
38*a^4*b^4 - 12*a^2*b^6 + b^8))*sqrt(sin(d*x + c)/cos(d*x + c))*(1/((a^8 + 4*a^6*b^2 + 6*a^4*b^4 + 4*a^2*b^6 +
b^8)*d^4))^(1/4) + (a^8 - 12*a^6*b^2 + 38*a^4*b^4 - 12*a^2*b^6 + b^8)*sin(d*x + c))/cos(d*x + c)) - sqrt(2)*(
(a^6*b^2 + a^4*b^4 - a^2*b^6 - b^8)*d*cos(d*x + c)^2 + 2*(a^5*b^3 + 2*a^3*b^5 + a*b^7)*d*cos(d*x + c)*sin(d*x
+ c) + (a^4*b^4 + 2*a^2*b^6 + b^8)*d + 4*((a^9*b^3 - 2*a^5*b^7 + a*b^11)*d^3*cos(d*x + c)^2 + 2*(a^8*b^4 + a^6
*b^6 - a^4*b^8 - a^2*b^10)*d^3*cos(d*x + c)*sin(d*x + c) + (a^7*b^5 + a^5*b^7 - a^3*b^9 - a*b^11)*d^3)*sqrt(1/
((a^8 + 4*a^6*b^2 + 6*a^4*b^4 + 4*a^2*b^6 + b^8)*d^4)))*sqrt((a^8 + 4*a^6*b^2 + 6*a^4*b^4 + 4*a^2*b^6 + b^8 -
4*(a^11*b + 3*a^9*b^3 + 2*a^7*b^5 - 2*a^5*b^7 - 3*a^3*b^9 - a*b^11)*d^2*sqrt(1/((a^8 + 4*a^6*b^2 + 6*a^4*b^4 +
4*a^2*b^6 + b^8)*d^4)))/(a^8 - 12*a^6*b^2 + 38*a^4*b^4 - 12*a^2*b^6 + b^8))*(1/((a^8 + 4*a^6*b^2 + 6*a^4*b^4
+ 4*a^2*b^6 + b^8)*d^4))^(1/4)*log(((a^12 - 10*a^10*b^2 + 15*a^8*b^4 + 52*a^6*b^6 + 15*a^4*b^8 - 10*a^2*b^10 +
b^12)*d^2*sqrt(1/((a^8 + 4*a^6*b^2 + 6*a^4*b^4 + 4*a^2*b^6 + b^8)*d^4))*cos(d*x + c) - sqrt(2)*(2*(a^13*b - 1
0*a^11*b^3 + 15*a^9*b^5 + 52*a^7*b^7 + 15*a^5*b^9 - 10*a^3*b^11 + a*b^13)*d^3*sqrt(1/((a^8 + 4*a^6*b^2 + 6*a^4
*b^4 + 4*a^2*b^6 + b^8)*d^4))*cos(d*x + c) + (a^10 - 13*a^8*b^2 + 50*a^6*b^4 - 50*a^4*b^6 + 13*a^2*b^8 - b^10)
*d*cos(d*x + c))*sqrt((a^8 + 4*a^6*b^2 + 6*a^4*b^4 + 4*a^2*b^6 + b^8 - 4*(a^11*b + 3*a^9*b^3 + 2*a^7*b^5 - 2*a
^5*b^7 - 3*a^3*b^9 - a*b^11)*d^2*sqrt(1/((a^8 + 4*a^6*b^2 + 6*a^4*b^4 + 4*a^2*b^6 + b^8)*d^4)))/(a^8 - 12*a^6*
b^2 + 38*a^4*b^4 - 12*a^2*b^6 + b^8))*sqrt(sin(d*x + c)/cos(d*x + c))*(1/((a^8 + 4*a^6*b^2 + 6*a^4*b^4 + 4*a^2
*b^6 + b^8)*d^4))^(1/4) + (a^8 - 12*a^6*b^2 + 38*a^4*b^4 - 12*a^2*b^6 + b^8)*sin(d*x + c))/cos(d*x + c)) - 4*(
3*a^4*b^2 + 7*a^2*b^4 + (3*a^6 + 4*a^4*b^2 - 7*a^2*b^4)*cos(d*x + c)^2 + 2*(3*a^5*b + 7*a^3*b^3)*cos(d*x + c)*
sin(d*x + c))*sqrt(a/b)*arctan(b*sqrt(a/b)*sqrt(sin(d*x + c)/cos(d*x + c))/a) + 4*(2*a^4*b^2 + 4*a^2*b^4 + 2*b
^6 + (3*a^6 + 3*a^4*b^2 - 2*a^2*b^4 - 2*b^6)*cos(d*x + c)^2 + (5*a^5*b + 9*a^3*b^3 + 4*a*b^5)*cos(d*x + c)*sin
(d*x + c))*sqrt(sin(d*x + c)/cos(d*x + c)))/((a^6*b^2 + a^4*b^4 - a^2*b^6 - b^8)*d*cos(d*x + c)^2 + 2*(a^5*b^3
+ 2*a^3*b^5 + a*b^7)*d*cos(d*x + c)*sin(d*x + c) + (a^4*b^4 + 2*a^2*b^6 + b^8)*d)]

________________________________________________________________________________________

Sympy [F(-1)]  time = 0., size = 0, normalized size = 0. \begin{align*} \text{Timed out} \end{align*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate(tan(d*x+c)**(7/2)/(a+b*tan(d*x+c))**2,x)

[Out]

Timed out

________________________________________________________________________________________

Giac [F(-1)]  time = 0., size = 0, normalized size = 0. \begin{align*} \text{Timed out} \end{align*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate(tan(d*x+c)^(7/2)/(a+b*tan(d*x+c))^2,x, algorithm="giac")

[Out]

Timed out